19世纪初，傅里叶研究热传导的分析理论，证明可用正弦与余弦组成的级数表达热传导过程，这后来称之为傅里叶级数。傅里叶又将此推演到傅里叶积分。这些数学工具使人们可以将时域信号变换到频率域进行研究。

一 连续傅里叶变换

对于任意的函数X(t)，按傅里叶的理论，它可以表示成如下的级数形式：

其中

从上面的式子可以看出，傅里叶级数实质上就是用许许多多的正弦和余弦函数的加和来拟合一个实际的函数。这一特点使得傅里叶级数成为研究周期函数的有效工具。而通过适当的变换将傅里叶级数转换为傅里叶积分的形式，就可用于研究非周期函数。令：

经变换，傅里叶级数可表达为

(26一28)

有了这些基本概念后，可以直接给出傅里叶变换的定义。设有时间函数x(t)，其傅里叶变换表达式为

                       (26一29)

逆变换为

                             (26一30)

二 离散傅里叶变换

在实际的测定过程中，我们只能获得信号的一系列采样点，式（26-29)和式(26-30)所示的连续变换形式需转换成能处理离散序列的变换形式。转换的过程可参阅文献，限于篇幅，此不赘述。离散傅里叶变换的形式如下：

                            (26一31)

式中N为离散样本点的数目，T为采样间隔。

采用式（26-31)进行傅里叶变换所遇到的一个困难是计算量的问题。式(26-31)的计算时间是正比于N2如果N很大，则计算时间很长，直到1965年，Cooly-Tukey（库利一图基）在《计算数学）))(MathematicsofComputation）发表了他们的著名的“机器计算复傅里叶级数的一种算法”的文章，提出了后来被称为“快速傅里叶变换”的算法，傅里叶变换才真正开始被人们广泛应用于各研究领域。
关于傅里叶变换的详细内容可参阅有关书籍。Matlab工具包中有完整的傅里叶变换（fft.m）和逆变换（(ifft.m）的程序可供直接使用。

三 傅里叶变换用于分析信号处理

作为傅里叶变换在仪器分析中的运用，在此以两个例子进行说明。当然，傅里叶变换在仪器分析领域中的运用决不局限于此。

1．滤噪

噪声是分析测定过程中不可避免地存在的一种影响因素。噪声滤除一直是仪器分析工作者所关心的重要问题之一。在此用一个实例来说明傅里叶变换用于噪声滤除的方法。

图26-38是一分析信号及其傅里叶变换结果（只画出部分）。由于噪声一般都表现为高频信号，所以只要将傅里叶变换中的高频信号剔除，然后再进行傅里叶逆变换，就可以得到滤除噪声的分析信号。

图26-39是将高频噪声信号剔除后复原的信号图（此例保留12个低频信号）。从噪声滤除后的信号与真实信号对比的情况来看，傅里叶变换确实是非常有效的去除噪声的工具。

2．卷积运算和去卷积运算

基于傅里叶变换方法的卷积和去卷积的概念在信号处理中有重要应用。复合信号的去卷积通常是指用傅里叶变换技术进行信号分辨。在光谱、色谱和电化学分析等方面都已有应用。在讨论复合信号的卷积运算前，先以光谱分析的一个例子说明有关卷积的概念。设有一条光谱线，以f(x)表示，其真实形态如图26-40中的原始信号所示。我们当然希望在实际的测定过程中能记录到这一光谱的真实形态。

然而，用光谱仪记录这一条谱线时，通常是通过一狭缝沿横轴x方向进行扫描。如果狭缝的宽度无限小，则检测器上记录的光谱曲线与谱线图26-40中原始信号完全相同。但实际上由于光谱仪的狭缝总有一定宽度，因而记录的光谱曲线与谱线图26-40中原始信号就不完全相同。若用狭缝函数h(x)表示在不同x值时，狭缝通过的光强到达狭缝中心点所对应的位置上的检测器的比例数，如图26-40中狭缝函数图所示（为凸现卷积的效果，在此夸大了狭缝宽度）。检测器检测到的光谱强度实际上是通过狭缝的谱线与狭缝函数对应点相乘后的加和，如图26-41所示。图26-40中卷积信号图是原始信号图的卷积运算结果。

卷积运算的数学表述如下，设有两个函数f(x)和h(x)，积分

叫做函数f(x）和h(x)的卷积，记为

g(y)=f(x)*h(x)

对上面光谱分析的例子，f(x)就是原始光谱曲线，h(x)是变宽函数，g(y)就是实测光谱曲线。其中，x和y是同一域中的变量。

利用傅里叶变换可以很容易地进行卷积运算，其根据是如下的卷积定理：

g(y)=f(x)*h(y)F(v)H(v)

这里，右边是左边相应函数的傅里叶变换。

所以，经过傅里叶变换，复杂的卷积运算变成了简单的乘法运算。利用卷积运算还可以从测得的（变宽的）光谱g(y)与变宽函数h(x)，还原出原始波谱f(x)，如下：

(1)计算测量谱的傅里叶变换，

                         FT

g(y)=f(x）*h（y）→G(v)

(2)计算变宽函数的傅里叶变换，

      FT

H(x)→H(v)

(3)计算真实谱的傅里叶变换，

F(v)=G(v)/H(v)

(4)通过傅里叶逆变换求得真实谱，

       IFT

F(v）→f(x)

傅里叶变换在各种分析仪器中已得到广泛应用，如傅里叶变换红外光谱仪逐渐取代了色散型仪器；脉冲傅里叶变换（PFT)NMR谱仪逐渐取代连续波NMR谱仪，且仪器性能得到极大的提高。