2.3.7小波变换

小波变换(WaN;elet Transform, WT)的基本原理与傅里叶变换类似，不同的是，它既保持了傅里叶变换的优点又具有良好的局部化性质。因此，小波变换被誉为分析信号领域的显微镜，已被广泛应用于光谱数据平滑、降噪以及数据压缩等诸多方面。小波变换的实质是将信号x(t)投影到小波ψ_a,_b(t)上，即x(t)与ψ_a,_b(t)的内积，得到便于处理的小波系数，按照光谱分析的需要对小波系数进行处理，然后对处理后的小波系数进行逆变换，进而得到处理后的信号：

式中，ψ_a，_b(t)为一个函数族，通过ψ(t)的伸缩和平移产生；ψ(t)为小波基或小波母函数；a为尺度参数，用来控制伸缩；b为平移参数，用来控制位置。

在分析光谱信号的小波变换处理中，通常使用的是离散WT。离散WT定义为

a=a^m_o(a_o>1，m∈Z),b=nb₀am₀(b₀∈R,n∈Z)     (2-14)

则在利用小波变换对光谱函数进行预处理时，选择合适的参数很重要。

2.3.8连续投影算法

连续投影算法(SPA)是一种能够很好地消除波长变量间共线性问题的变量选择方法，利用向量投影来优选出冗余度低、共线性小又能反映样本光谱关键信息的有效特征波段，通过减少建模输入变量的数目来提高建模速度井降低模型复杂程度，最大限度地避免光谱信息重叠。SPA以其简单、快速的优势被应用于选取多种样品波长，获得了较好的结果。为了提高分析模型的精度，本书尝试应用SPA进行谱区筛选和模型优化，其算法原理如下：校正集样本数目M和波点数K组成表面增强拉曼散射光谱的吸光度矩阵X_M×K，令x_k(0)为初始迭代向量，N(N<M-1)为需要提取的波段数目，SPA从一个波段出发进行前向循环选择，每次循环时计算该波段在其他波段上的投影，若某一波段上投影向量最大，则将其加入波段组合中，N次循环中每次循环选中的波段都与上次循环选中的波段有最小的线性关系，具体步骤如下：

1)初始化：n=1，在表面增强拉曼散射光谱吸光度矩阵中任选一个列向量x_j进行第一次迭代，记为x_k(0)(即k(0)=j)；

2)集合S定义为：S＝{j,1≤j≤K,j∈{k(0),...k(n-1)}}，即未被选入的列向量，计算xj在S上每一个列向量的投影：

Px_j=x_j-(x_j-x_k(n-1)x_k(n-1)(x^T_k(n-1)-x_k(n-1)-1     (2-15)

3)记录最大投影的序号：

k(n)=arg(max‖Px_j‖，j∈S      (2-16)

4)以最大投影作为下次循环的投影向量：

x_j=Px_j,j∈S    (2-17)

5)n=n+1，如果n<N回到2)继续投影。

循环结束得到M×K对波长组合，使用每对x_k(0)和N组合建立定量模型，预测方均差最小时所对应的x^*_k(0)和N^*为最优波长组合。

2.3.9正交信号校正

利用正交信号校正算法，对原始光谱数据进行预处理，可以有效地取出光谱数据中所包含的各种干扰噪声信号。在实际应用近红外光谱技术进行分析时，部分系统误差或干扰噪声等与有效信息无关的信息常常会被引入在光谱中，这时，用PLS法建立的定标模型的前几个主因子数对应的光谱载荷经常不是有用的浓度矩阵信息，而是与浓度矩阵无关的噪声信号。因而，在建立定标模型前，通过正交的数学运算，除去与浓度阵无关的噪声，然后将经过数学运算处理后的光谱矩阵作为新的自变量矩阵，再利用PLS法建立校正模型。

只要保证除去的部分与预测值矩阵能够正交，则除去部分所含有的信息必然与光谱矩阵没有必然的关系。正是基于这种新颖的思想，S.Wold等人在1998年提出正交信号校正方法。但是这种最初的算法的缺点是每次迭代计算均需要计算一遍PLS，计算时间较长，且内置PLS法的成分数很难确定。Sjoblom又改进了该算法，其算法与Fold基本一致，只是计算次序略有差别。这种算法在迭代时不用反复计算PLS，其主成分数也容易通过交叉验证的方法确定。但同样该方法的缺点是无法严格证明其剔除的信息与光谱矩阵正交。经过学者们长时间的不断探索和研究，陆续出现了逐渐完善的算法，如Fearn的类PCA算法、Andersson的DO算法、Westerhuis的DOSC算法、Trvgg的O-PLS算法、Feudale的POSC算法等。这些改良后的预处理方法的基本原理是在建立定标分析模型前，将光谱矩阵与浓度矩阵正交，去掉光谱与浓度矩阵无关的冗余信号，再进行多元校正，从而使所建立的模型更加简化，并且提高模型的稳定性和预测能力。

文章来源：《多光谱食品品质检测技术与信息处理研究》

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