2.1.2误差的表示方法

2.1.2.1准确度与误差

准确度是指测量值与真实值接近的程度，准确度可用误差来衡量。测量值与真实值越接近，误差就越小，测量结果就越准确。误差有正、负之分，当误差为正值时，表示测定结果偏高；误差为负值时，表示测定结果偏低。误差可用绝对误差和相对误差表示。

(1)绝对误差

绝对误差是测量值与真实值之差。即

E＝x-T

其中，x为测量值，T为真实值。

由于绝对误差没有与被测物质的质量联系起来，它不能完全说明测量的准确度。例如，用分析天平称量两物体A和B，其绝对误差如下：

A物品测得值

x＝2.1750 g

真实值

T＝2.1751 g

绝对误差

EA＝-0.0001 g

B物品测得值

x＝0.2175 g

真实值

T＝0.2176 g

绝对误差

EB＝-0.0001 g

由于绝对误差相同，不能反映出测定的准确度高低，因此分析结果的准确度常用相对误差来表示。

(2)相对误差

相对误差是绝对误差在真实值中所占的百分率。即

可以看出，相对误差更能反映误差在测定结果中所占的百分率，更能反映测定结果的准确度，也更具有实际意义；另外，使用相对误差能够比较不同物理量单位的测量数据，如上例中的相对误差分别为：

这说明，绝对误差相同时，常用相对误差进行分析测定。

2.1.2.2精密度与偏差

我们知道，用准确度和误差结果来评价分析结果的可靠性，需要提供真实值，而在实际问题中，往往不知道真实值。因此，通常用偏差来衡量所得结果的精密度。所谓精密度，是指在相同条件下同一试样多次平行测定结果相互接近的程度。偏差越小，精密度越高。下面介绍各种精密度的表示方法。

(1)偏差

偏差分为绝对偏差和相对偏差。

①绝对偏差di是指单次测量值xi与平均值之差，即

di＝xi-(i＝1，2，…，n)

②相对偏差dr表示绝对偏差在平均值中所占的百分比，即

其中，

由此可见，绝对偏差和相对偏差都只能用来衡量单次测量结果对平均值的偏离程度，而不能表示测量的总结果对平均值的偏离程度。为了更好地说明精密度，在一般的分析中常用平均偏差来衡量。

(2)平均偏差

平均偏差是指各次测量值的偏差的绝对值的平均值，即

其中，n表示测量次数。

由于各测量值的绝对偏差有正有负，取平均值时会相互抵消。只有取偏差的绝对值的平均值才能正确反映一组重复测量值的偏差大小。

(3)相对平均偏差

单次测量结果的相对平均偏差为

平均偏差和相对平均偏差由于取绝对值，因而都是正值。若进行无限次测量，则总体平均偏差δ和总体相对平均偏差δr分别为：

式中，u为测定次数无限增多时所得的总体平均值。

(4)标准偏差

用平均偏差表示精密度比较简单，但不足之处是在一系列测量中，偏差小的值总是占多数，而大的偏差总占少数，这样按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏差值将得不到充分的反映。例如，甲、乙两组数据为各次测定的偏差。

甲组：

乙组：

虽然两组数据具有相同的平均偏差，但是甲组含有两个较大的偏差，两组的分散程度是有差别的。因此在数理统计中，一般采用标准偏差来表示精密度。

标准偏差用s表示：

其中，为样本平均值，(n-1)为自由度。

甲、乙两组数据的标准偏差分别为：

可见，采用标准偏差能更好地表示数据的离散情况。

(5)相对标准偏差

相对标准偏差是指标准偏差占测量平均值的百分率，即

(6)平均值的标准偏差

从同一总体中随机抽出容量相同的数个样本，由此可以得到一系列样本的平均值1,2，…，n。这些样本平均值也不一定完全相同，平均值的标准偏差δ_x，可以衡量它们之间的精密度。平均值的标准偏差与单次测定值的标准偏差δ的关系为：

对于有限次数的测定则为：

平均值的标准偏差与测定次数的平方根成反比。若以测定次数为横坐标，以平均值的相对标准偏差为纵坐标，可得如图2-1所示的二者的关系曲线。

图2-1 S_x与测定次数n的关系

一般来说，报告分析结果要反映数据的集中趋势和分散性，常用的三项值为：测量次数n、平均值(表示集中趋势)、标准偏差s (表示分散性)。

相关链接：定量分析中的误差及分析数据处理（一）